《管子》的学术思想

李伯春

一、《管子》与管仲

《汉书·艺文志》著录有《管子》八十六篇，现存七十六篇ii，一般认为是托名于管仲的著作，实为战国至西汉的文集ii。《管子》的大部分内容保存并反映了管仲的言论和思想，则基本上应该是可信的。大约是管子这一学派各种著作的总集。现传注本主要有唐尹知章《管子注》、清戴望《管子校正》和近人郭沫若、闻一多、许维遹《管子集校》等。

《管子》书非管子作，毫无疑义。但管子相桓公，以泻卤之地，僻在海滨,九合诸侯,一匡天下,夸一世而存雄,其政治大端,必有可观者。史家记载，口碑流传，战国秦汉之际，当仍炳彪煊耀，学者摭其遗说，附会增益，托名以行，势所难免。所以不托他人，独托管子者，则以管子通鱼盐，设轻重九府。《牧民》诸篇，三《匡》（《大匡》、《中匡》、《小匡》等）诸记，与战国他书论述管子之言，未全背谬，虽非管子之书，而管子遗说，必有存乎其间者。ii这些分析无疑是十分正确的。

管仲（？--前645），即管敬仲，名夷吾，字仲，颍上（颍水之滨）人。《（明嘉靖）颍州志》云，其家在颍上县北二十五里淮润乡管谷村。父亲管庄是齐国的大夫。管仲从小就诵读《诗》、《书》，学习礼仪，练习驾车。青年时代的管仲，曾和挚友鲍叔牙合伙经商，到过很多地方，接触过各种各样的人和事，积累了丰富的社会经验，增长了见识和才干。后经鲍叔牙推荐，被齐桓公任为上卿，尊称仲父。管仲辅佐齐桓公治齐四十年，实行改革，富国强兵，九合诸侯，一匡天下，使齐国成为春秋时第一个霸主。对外以尊王攘夷相号召。对内实行政治经济的变革，发展工商渔盐冶铁；推行相地而衰征的政策，按土地的好坏分等征赋；作内政而寄军令，寓兵于民，扩大兵源；举贤任能，制订选拔人才的制度，士经三次审选，可为上卿之赞（辅助）。分国都为十五士乡和六工商乡，分鄙野为五属，设各级官吏管理。提出仓廪实则知礼节，衣食足则知荣辱的论点，并把礼、义、廉、耻看作国之四维，认为四维不张，国乃灭亡。管仲辅佐齐桓公安邦治国，政治上取得了成功，这同他的重数思想即特别重视数学在社会生活中的作用相关。他的重数思想在《管子》中得到了一定的体现ii。

管子之政主于通货积财，富国强兵，这也是贯彻于《管子》自《经言》到《轻重》的一条主线ii。《管子》的重数思想和法制思想，一以贯之。这其中丰富的数学知识是以管子为代表的先秦法家的集体智慧的结晶。它的广泛传布，与《管子》成书密切相关，《管子》的作者功不可没。

正因为重数思想在《管子》一书中随处可见ii，因此它在中国数学史上有不可忽视的重要地位，清黄钟骏《畴人传四编》列管夷吾于其中，见地独到。

二、《管子》的数学成就

1、记载并保存了最早的九九乘法口诀

九九歌诀即十以内相乘法口诀。因古时从九九八十一开始，到五如一为止，故名之曰九九。《管子·轻重戊》（以下均只称篇名）称：虙戏（即伏羲）作，造六法以迎阴阳，作九九之数以合天道。《地员》中有：五七三十五、四七二十八、三七二十一、二七一十四、六七四十二、七七四十九、七八五十六、七九六十三等口诀；《海王》有五六三十的口诀；《管子》中虽无一张完整的九九表，但可以推断，《管子》是熟知九九歌诀的，因为它是可以在需用时顺手拈来。

从目前在古代典籍中搜集到的九九歌诀来看，《管子》一书是记载得最早并保存得最多的了。

2、记载并保存了最早的分数及运算

《海王》称：终月大男食盐五升少半（），大女食盐三升少半（），吾子食盐二升少半（），令盐之重，升加分强（）釜五十也；升加一强釜一百也；升加二强（）釜二百也。《地员》论音律，说把宫音管长三分而益之以一，便得徵音管的长度。《地员》中还有十分之二、十分之三、十分之四、十分之五、十分之六、十分之七等表述。这些都是最早的分数及运算的记载。

3、记载并保存了最早的指数概念

《地员》称；先主一，而三之，四开，以合九九。即是

9&9＝81（李迪《中国数学史简编》）

这是我国数学史上最早出现的指数概念，说明了《管子》成书之时，已经有乘方运算。

4、面积概念和计算法则已产生

《管子》中无面积计算公式，但我们根据《管子》的记述可以推断，当时人们有着清晰的面积概念，而且计算法则已产生。正如李迪先生所说：虽然在当时的书籍上还没有找到有关面积计算的记载，但是估计当时对于正方形、长方形、三角形、圆等的面积计算法则已相继产生了。ii

《管子》中有关面积的资料很多，如《七法》中提到尺寸也，绳墨也，规矩也，衡石也，斗斛也，角量也，谓之法。这里的法就是度量的标准。接着又说：论材审用。不知象不可；治民一众，不知法不可；举事必成，不知计数不可。清楚的表明，治理国家离不开法和计数。如测算农田面积，按田亩纳税必不可少。故法不可不知，数不可不计。《乘马》篇则说得更加明确：天地，莫之能损益也。然则可以正政者，地也，故不可不正也。正地者，其实必正。长亦正，短亦正，小亦正，大亦正，长短大小尽正。地不正则官不理，官不理则事不治，事不治则贷不多。所谓正地就是核准土地的面积，包括各种形状的土地面积，否则就谈不上长短大小尽正。由此可见，当时人们已具备了计算各种形状土地面积的常识。ii

5、《管子》中有丰富的统计思想与方法

《管子》中，有许多关于人口、土地、粮食产量的统计问题，亦有诸多有关民情、政治、经济、兵事等方面的统计调查问题。其中《山国轨》和《问》较为典型。《山国轨》这一篇名的含义，向无确解。较为通行的说法是，山与国家财政问题相关（在古代，山林资源往往成为国家财政的极重要的支撑）。国轨，指国家的财务统计管理工作；轨即会计之会。问即询问、调查。

《山国轨》开篇即有田有轨，人有轨，用有轨，人事有轨，币有轨，乡有轨，县有轨，国有轨。不通于轨数而欲为国，不可。阐述了统计方法对治理国家的重要作用。篇中以众多事例加以论证，使人们对《管子》的统计思想和方法可以有一个清晰的了解。《问》篇虽无明确的统计字样，但是要对所提出的问题作答则必须借助于统计调查。据统计，所提65个问题，其中就有44个问题是关于数量的数据问题。内容涉及国事民情、政治、经济、军事诸多方面。这是两千多年前有关国情的一份比较全面的统计调查方案，是一份宝贵的统计史料。

总之，《管子》中的调查统计可以看成是中国统计学的源之一，它蕴含着统计学最原始的思想与方法，ii为决策、施政、预测作参考。

6、《管子》中有对策思想

运筹学的早期萌芽常常以运用策划、进行斗智的形式出现。春秋战国时期，由于军事、外交和游戏等方面的需要，运筹的思想有了发展。《孙子兵法》、《孙膑兵法》、《管子》等书中都有对策思想。ii在军事上，《管子》很重视计数和作用。它认为，在大军未发之前，首先要把各方面的数量关系都计算好。《七法》篇说：若夫曲制（指军队）时举，不失天时，毋圹地利。其数多少，其要必出于计。故凡攻伐之为道也，计必先定于内，然后兵出于境。计未定于内而兵出于境，是则战之自败，攻之自毁也。事先没有对各种数量关系的计算，这样的战争注定是要失败的。《七法》对治军的具体方法和陈兵布阵的军事原则与战术技巧也作了较详细的解说。《参患》篇说：一期之师，十年之蓄积殚；一战之费，累代之功尽。因此如何在战时保持本国的内部不贫困，是一件极为重要的事情。而要做到这一点，同样也离不开计数。《兵法》篇说：举兵之日而境内不贫者，计数得也。计数得，则有明也。治众有数，胜敌有理，察数而知理，审器而识胜，明理而胜敌。数明理胜敌，一个合乎逻辑的范式产生了，运筹于帷幄之内，决胜于千里之外成为必然的了。

在对外关系上，《管子》则通过观察和计算来判断一个国家的贫富、虚实、强弱、治乱等真实情况，然后在这个基础上制定相应的外交政策。在《八观》篇中，从八个方面观察一个国家的状况并预知它的前途。八观的八个方面的内容，即观知国之饥饱、国之贫富、国之兴灭、国之存亡。由于上述观察判断是建立在实际数量的计算之上的，所以其结论往往比较可靠。在这个基础上制定的外交政策，自然也就往往恰到好处，并容易取得外交上的胜利。

总之，《管子》以计数为治国的重要手段，决策帷幄，曾为齐国称霸创造了条件。

7、数学知识的积累

《管子》不是一本数学专著，但其中却包含着丰富的数学知识，如整数的四则运算、分数的概念及分数的运算、比例问题、几何知识、统计学的思想与方法、对策思想等。这些知识大多与具体、实际的问题联系在一起。从理论上看，它们是分散的、零碎的，也没有形成一般的公式，但却恰恰反映了那个时代的数学发展的真实情况和实际水平，即数学的理论和方法的产生正处于一种孕育与酝酿时期，一般的数学理论与公式正待从大量、具体的实际问题与解法中脱颖而出。事实上，稍后成书的中国古代第一部数学专著《九章算术》中的数学知识和理论的大部分都可以在《管子》中找到雏形。这说明了，中国传统数学体系的代表《九章算术》不可能在数学的荒漠中诞生，而必然是大量丰富的具体问题方法积累和提炼的结果。所以从这个角度去看《管子》的数学知识，它们不完全是零碎和具体的东西，而是《九章算术》及其以后数学发展的源泉之一，因而是传统数学发展中的有机组成部分。ii

《管子》中的数学知识代表了传统数学发展的主流方向，充分体现了《管子》在数学发展史上的地位。从先秦诸子文献例如《管子》入手去研究先秦数学发展状况及其对传统数学的影响，是中国古代数学史研究的一个新的领域。

春秋战国时代没有出现数学专著，数学的实际水平到底有多高无法确知。ii但我们从上面的陈述则清楚地了解到，《管子》重数，其中蕴涵着丰富的数学思想方法，它记载和保存了先秦时期劳动人民所创造的许多重要成果。应该说，它的数学成就是处于领先地位的。ii

三、《管子》的重数思想和法治思想

管仲是先秦法家的先驱者。《法》的概念渗透于《管子》之中。法这个词在《管子》之中随处可见。法这个概念里面，常常包含着数和量的内容。《管子》从哲学的原则高度总结出七条基本的法则，并称之为七法，即是：（1）则；（2）象；（3）法；（4）化；（5）决塞；（6）心术；（7）计数。翻译成白话文即是，则就是法则和规律；象就是形象之表现；法就是标准和制度；化就是教育和感化；决塞就是开放和堵塞；心术就是思想之方法；而计数就是计算和数学（数学中的计算）。

那么计数又包含哪些内容呢？《七法》篇说：刚柔也，轻重也，大小也；实虚也，远近也，多少也，谓之计数。这里涉及了六对范畴，其中既有数量关系，又有空间形式关系，确实也是数学中的几对最基本的矛盾关系。空间形式关系的准确表达归根结蒂还是要靠数学关系去表达，所以计数确实把数学的本质揭示出来了。

《管子》把计数列入七条基本法则之一，明确地把数学看作法治理论的一个组成部分。他认为这七条法则是缺一不可的，而计数是欲办大事必不可少的方法和手段。他说：不明于计数而欲举大事，犹无舟楫而欲经于水险也。又说：举事必成，不知计数不可。这种对于数学的社会作用的充分肯定，无疑是有进步意义的。

《管子》的法概念，含有广义和狭义两重意义。前述的七法之法，是广义的，指的是法则或道理。另有一种狭义的法，则指的是标准和法度，而它又是广义的七法中的一法。而这种狭义的法，《管子》则认为也同计数密切相关。《七法》篇说：尺寸也，绳墨也，规矩也，衡石也，斗斛也，角量也，谓之法。这就是说，《管子》的所谓法，就象尺寸之于长短，绳墨之于平直，规矩之于方圆，秤之于重量，斗之于容量，角之于量器一样，具有不可易移的标准和法度的意义。《管子》认为：不明于法，而欲治民一众，犹左书而右息也。又说和民一众，不知法不可。即要达到治民与和民的目的，就一定要明法、知法，足见其对于这一意义上的法的作用的重视。

《管子》的这个狭义的法概念，以后成了中国数学史上的一个重要的数学术语。实如法而一，在中国古代数学史上，是一个使用频率很高的陈述。《周髀算经》中有实如法得一里、实如法得一度；《九章算术》各章中实如法而一、实如法得一斗、实如法得一斛等也屡屡出现；详览《算经十书》，实如法而一、实如法得一几乎随处可见，法的概念广泛地渗透到各书中。实如法而一就是被除数（实）如果等于除数（法），则其商为一；被除数（实）中有几个除数（法），所得的商就是几。英国著名科学史家李约瑟在考察法、实这两个数学名词时曾指出：法这个字显然与法律（尤其是成文法）中的法字相同。如果除法最初是由于进行土地丈量而产生的，那么，除数自然就是法律固定的单位量度，被除数就是田地的真实长度。（《中国科学技术史》第三卷·数学·中译本第142页）。从《管子》对于法的定义来看，这个单位量度不仅包含了尺寸这样的长度单位，而且还应该包括衡石、斗斛、角量等重量单位和容量单位，以及平直方圆等方面的度量单位。

《管子》不仅把计数作为七法之一，而且还把计数看作判断一个君主究竟是圣君还是失君的标准之一。《任法》篇说：

圣君任法而不任智，任数而不任说，任公而不任私，任大道而不任小物，然后身逸而天下治。失君则不然，舍法而任智，故民舍事而好誉；舍数而任说，故民舍实而好言；舍公而任私，故民离法而妄行；舍大道而任小物，故上劳烦，百姓迷惑，而国家不治。

在《管子》中，数是和法、公、大道并列的重要的政治哲学概念。舍数就是舍实，舍法就是舍事，数和法就是公理，就是大道，是每一个希冀身逸而天下治的圣君必须遵循的基本原则。显然，《管子》的重数思想是其法家学说的一个重要方面，是其政治哲学思想体系的一个不可分割的组成部分ii。

在《管子》中，法的概念被广泛地应用于数学和社会生产的许多方面，可以说是大科学观在先秦时代已有孕育，至于今日发扬光大，乃是发展的必然。

总之计数是管仲治国的一个重要手段。他不仅在理论上大力提倡，而且在实践中身体力行。在《管子》中，数概念比比皆是，如地数、度数、教数、至数、轻重之数、广狭之数、寻丈之数、徐疾之数、币准之数、准衡之数、贵籴之数、食盐之数、定壤之数、五官之数、泰奢之数、得失之数、必胜之数等等。管仲的重数思想广泛地渗透进了当时齐国社会生活的各个领域。

四、《管子》的教育观

《管子》在《权修》篇中说：一年之计，莫如树谷；十年之计，莫如树木；终身之计，莫如树人。一树一获者，谷也；一树十获者，木也；一树百获者，人也。

《管子》这段关于教育的精彩论述，说明了培养人的重要作用。现在人们用十年树木，百年树人表示培养人才是长久之计，也表示培养人才很不容易。我们很清楚地看到，《管子》为了表达自己的教育观，仍然没有割舍计数一、十、终身和百。也就是说，《管子》的教育观渗透着重数思想。

《管子》上述之语现在已被陈太一院士作为古、近代名人有关教育的名言选录（《关于教育的思考与回顾》）收入《院士谈教育》一书之中。其实早在清·梁章钜《楹联丛话·廨宇》中就有刚日读经，柔日读史；十年树木，百年树人的妙联。由此足见，《管子》的教育观树人思想早已深入人心，影响深远。

教育关系到国家的长治久安。百年大计，教育为本，古今同一理。

总之，《管子》的重数思想与管仲全面推行改革的实践是分不开的。他的重数思想渗透进了教育，他的教育观也渗透进了重数思想。因而全面探讨《管子》的学术思想，特别是重数思想，对数学教育是有现实意义的。

（作者单位：淮北煤炭师范学院数学系）