第65期 试论与《管子》中的数学知识相关的几个问题
来源：管子研究会 时间：2022/4/25 17:25:05
试论与《管子》中的数学知识相关的几个问题
张连杰 张晶晶
［提要］先秦时期的《管子》这部书中的内容繁多，其中也包含着许多丰富的和生动的数学知识。本篇论文初步分析与探讨了与《管子》一书中的数学知识相关的几个问题，其基本内容主要包括三个部分：（一）《管子》一书中的相关知识涉及到了数学的功用；（二）《管子》一书中的数学运算和几何知识；（三）《管子》一书中数学的社会历史地位。
［关键词］ 《管子》；数学知识；重视数学思想；数学运算；几何知识；社会历史地位
《管子》这部书中的内容丰富且非常繁杂，其中包涵有儒家、道家、阴阳家、兵家、法家等许多家思想以及天文、地理、历法、阴阳和经济等诸多方面的自然知识和社会知识等，其中当然也含有丰富的、生动的数学知识。
有鉴于此，笔者虽学力有所不逮、但仍不揣浅陋，拟从《管子》一书中的相关知识涉及到了数学方面的功用、《管子》一书中的一些数学运算和几何知识以及《管子》一书中数学知识的社会历史地位等三个方面，来初步分析与探讨了和《管子》一书中的数学知识相关的几个问题；并以此抛砖引玉、且求教于学术界的方家们与同行们，望不吝赐教！不足之处，敬请批评与斧正！
一、《管子》一书中的相关知识涉及到了数学方面的功用
在《管子》时代和《管子》这部书中，有许许多多的齐桓公与管仲君臣两人之间的一问一答的对话或者诸多的管仲就某一方面的问题向齐桓公的进言。在《管子》一书中的记载齐桓公与管仲之间的两者对话或者管仲向齐桓公的进言之中，所涉及到的有关经邦治国、管理民众和治理军队以及征收赋税与征发徭役等方面的内容就相当的多。也就是说，《管子》这部书已经开始意识和觉察到了数学的社会功能、并自觉地运用和体现了其中的数学知识。
如：管仲向齐桓公曾这样建议——在治国、理民和统兵、治军中，“治民有器，为兵有数，胜敌国有理，正天下有分。”还有七法：“则、象、法、化、决塞、心术、计数。……不明于计数，而欲举大事，犹无舟楫而欲经于水险也。……举事必成，不知计数不可。”由此可见，在治理民众和管理社会中，是离不开数学知识的、并且有时候还需要去进行计算的。
在《管子》时代和《管子》这部书中，还有着比较丰富的统计理论知识。如：此书中包含了不少的经济、社会和军事等方面的统计调查的事情，其中特别是《管子·山国轨》中的相关内容就很有代表性。据笔者对之进行粗略的统计，在《管子·山国轨》篇中，总共有二十九个“轨” 字，所涉及到的统计和计量方面的内容总计有：土地、人口、各种费用、地方行政机构、布匹、粮食、赋税、徭役以及国家所获利益等许多方面，其功能之一便是：“上立轨于国，民之贫富如加之以绳，谓之国轨。”
还有，《管子·经言》中的第五《乘马》、《管子·管子轻重》中的第六十八《巨乘马》和第六十九中的《乘马数》等，均有“乘马”这两个字。这里的“乘”是指加、减、乘、除中的“乘”字，“马” 是个通假字、是指计数筹码中的“码”字，“乘马”含有计算、筹划和统计的意思。一方面，管仲认为：“虞国得策乘马之数……此有虞之策乘马也。”另一方面，管仲还认为：一个国家如果没有很好地去计算、筹划和统计，这个国家就有可能会发生“内战”。
然而，一个非常令人遗憾和十分感慨的历史事实竟然是：在《管子》时代和《管子》这部书中的关于统计方面的这种思想和方法，虽然已经发展到了一定的、相当先进的水平程度，但后来却没有沿着其理想的方向和前进的道路在古代中国继续向前发展，从而竟导致了世界性的系统的数理统计理论这门优势学科没有在古老的中华大地上产生并发展壮大起来！
二、《管子》一书中的一些数学运算和几何知识
在《管子》时代以及《管子》这部书中，其整数中的大数就有万、十万、百万和千万等，并且均按照严格和规整的十进位制来进行进位；这样记既简单、明了和一目了然，又避免了繁多、复杂与混乱的情形，而且还方便于运算和统计等，几乎与现当代的方法和方式是基本上一致的。“钟二千，十钟二万，百钟二十万，千钟二百万……一月六千万。”在此书中，其分数的表现形式所采用的是几分之几的方式、方法，如：“三会诸侯令曰：田租百取五，市赋百取二，关赋百取一，毋乏耕织之器。”这里的分数（百分数）便是：5/100（5%），2/100（2%）和1/100（1%）。
韩婴（西汉时期的燕地〈隶属于今天的河北省〉人）在《韩诗外传》中曾记载有这样的一个历史故事：春秋时代，管仲辅佐齐桓公称霸时期，“齐桓公设庭燎以待士，期年而士不至。于是东野有以九九见者。（齐）桓公戏之曰：九九足以见乎？鄙人曰：九九薄能耳，而君犹礼之，况贤于九九者乎？（齐）桓公曰：善。乃因礼之，期月，四方之士相导而至矣。”并且，此故事在当时的好几种书（即：《吕氏春秋》、《战国策》以及刘向《说苑》等）中均有相同内容的有关记载。
1908年在甘肃西部敦煌发现的竹木简以及1930年在甘肃西北部的额济纳旗（现隶属于内蒙古自治区的西部）居延烽火台遗址发掘出来的竹木简上，均记载有九九表，所有这些都是有关的实物证据。这便表明：在公元前七世纪管仲辅佐齐桓公称霸时的《管子》时代，懂得九九歌诀（即：10以内整数的乘法规律）已经不是什么稀奇的事情啦！另外，10以内的一位整数乘以两位数的整数的得数也基本上已经能够完全做得出来啦！
如：“五六三十” 、“五七三十五”、“四七二十八”、“三七二十一”、“二七一十四”（还有：“二七十四”）、“九九（八十一）”、“六七四十二”、“七七四十九”、“七八五十六”、“七九六十三”、“（七乘以十得）七十”、“（七乘以十一得）七十七”、“（七乘以十二得）八十四”、“（七乘以十三得）九十一”、“（七乘以十四得）九十八” 、 “（七乘以十五得）百五” 、“（七乘以十六得）百一十二” 、“（七乘以十七得）百一十九” 、“（七乘以十八得）百二十六” 、“（七乘以十九得）百三十三”和“（七乘以二十得）百四十”等。
把上面的所有内容换成相关的数学乘法运算，就是：5×6=30，5×7=35，4×7=28，3×7=21，2×7=14，9×9=81，6×7=42，7×7=49，7×8=56，7×9=63，7×10=70，7×11=77，7×12=84，7×13=91，7×14=98，7×15=105，7×16=112，7×17=119，7×18=126，7×19=133，7×20=140。此外，笔者还再举《管子》一书中的其他例子：“事成而制器：方六里为一乘之地也；一乘者，四马也；一马，其甲七，其蔽五；四乘，其甲二十有八，其蔽二十……”这里面所包含的整数范围内的乘法运算就有这样两处：4×7=28和4×5=20。
在《管子》时代以及《管子》这部书中，肯定含有整数的加减法运算。如：“制国以为二十一乡：商工之乡六，士农之乡十五。公帅十一乡，高子帅五乡，国子帅五乡。”这里面所含的整数四则运算中的加法便是：6＋15 =11＋5＋5=21。“（齐）桓公曰：‘何谓春事二十五日之内？’管子（即：管仲）对曰：‘日至六十日而阳冻释，七十（五）日而阴冻释。阴冻释而秇稷，百日不秇稷，故春事二十五日之内耳也。……’”这里面所含的整数四则运算中的减法便是：100－75=25。
在《管子》时代以及《管子》这部书中，除了整数的加、减、乘、除四则运算之外，还包含有分数的四则运算以及乘方。“‘四开以合九九。’九九这里指81。” “先主一而三之，四开以合九九……三分而益之以一，为百有八，为徵。不无有三分而去其乘，适足，以是生商。有三分，而复于其所，以是成羽。有三分，去其乘，适足，以是成角。”此处所涉及到的乘方运算和其他的混合四则运算就是：34=81（即：34=3×3×3×3=81），81×1/3＋81 =108，108×2/3 =72，72×1/3＋72 =96，96×2/3 =64。
对于此点（也就是：34=81【即：34=3×3×3×3=81】，81×1/3＋81 =108，108×2/3 =72，72×1/3＋72 =96，96×2/3 =64等），笔者还想再顺便地、附带地着重强调和继续说明一下：这也就是中国历史上非常著名的“三分损益法”！ 关于这一点，可以说：此点既是《管子》这部书和中国先秦时期的数学这两方面的成就与贡献、更是我们中国人民和中华民族的自豪和骄傲！
另外，在《管子》时代以及《管子》这部书中，还包含有一定的比例知识（这方面的内容主要包括：正比例和反比例等）和一些初步的、较为简单的几何知识。《管子》书中所表现和反映出来的几何知识，主要是一些实用性的内容以及经验性的总结，比如：关于土地面积的测算和水利以及土建工程等等。在《管子》这部书中，“估计当时对于正方形、长方形、三角形、梯形、圆等的面积计算法则已相继产生了。”还有：《管子·君臣上》篇中曾出现“若望三（即：参）表”即三点共线的问题，此为测量望术的基本。
三、《管子》一书中数学知识的社会历史地位
从某种程度上可以说，《管子》这部书虽包含着较为丰富的数学知识，但它却并非是一本数学方面的专著。《管子》这部书中的许多数学知识，大都与具体的、实际的问题密切联系在一起；从形式上和理论上来看，这些数学知识确实是零碎的、分散的甚至是非常不系统的，但它毕竟代表了和标志着那个时代（即：《管子》时代）的数学发展的具体表现、基本面貌和初步概况。
换句话说，《管子》时代的数学知识、数学理论、数学思想与数学方法等，其中“有些计算问题还包含指数的思想。”甚而至于还深入到了不少数学方面的度量衡单位等。在《管子》时代以及《管子》这部书中，出现了多处运用数学运算来解决具体的、生动的和丰富的社会实际问题等的现象。因此，从一定程度上可以认为：它是古代中国先秦时期的萌芽时期数学发展到封建社会时期传统数学体系所正式形成之间的过渡，并“在数学史上占有一定的地位。”
另外，《管子》这部书虽未对数学方面作过专门的说明与论述；实际上，它虽然并不是一本数学专著，但此书之中所体现出来的数学方法与思想理论，正处于中国古代数学发展史上的一种逐渐积累与正在升华的“雏形”发展阶段。从数学方面的角度来看，《管子》为后来《九章算术》中的相关知识概念与思想理论方法等，提供了一定的铺垫和有益的积累；总之，《管子》与《九章算术》这两者之间，可以说，就是“源”与“流”的关系。
综上所述，可以看出：在《管子》时代和《管子》这部书中的数学知识的社会历史地位，至少有以下两点必须要清晰地明确下来——1、在《管子》时代以及《管子》这部书中，所涉及到的数学方面的知识面较为广泛、其相关内容也比较丰富；2、《管子》这部书中已经能够自发地和部分自觉地运用一定的数学理论知识、去解决一些相应的生产与生活甚至于国家社会管理层面之中的具体的、丰富的社会实践问题与相关难题。
最后，认真学习与分析研究《管子》时代以及《管子》这部书中的数学知识及其相关的思想理论，可以激发当今新时代的中国人民和中华民族在数学方面的自豪感与成就感，从而更加坚定“文化自信”，在以习近平同志为核心的党中央坚强领导下，“坚持稳中求进工作总基调，立足新发展阶段，贯彻新发展理念，构建新发展格局，以推动高质量发展为主题，以深化供给侧结构性改革为主线，以改革创新为根本动力，以满足人民日益增长的美好生活需要为根本目的，坚持系统观念，……以优异成绩庆祝建党100周年。”
参考文献
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［2］郭沫若著作编辑出版委员会编：《郭沫若全集 历史篇》，北京：人民出版社，1982年9月第一版。
［3］乐爱国：《〈管子〉与古代数学》，载《自然辩证法通讯》1994年第2期（第十六卷 总第90期）。
［4］梁宗巨、王青建、孙宏安主编：《世界数学通史（下册·一）》，沈阳：辽宁教育出版社，2005年1月第1版。
［5］陈直：《六十年来我国发现竹木简概述》，载《历史教学》1962年第9期。
［6］李迪编著：《中国数学史简编》，沈阳：辽宁人民出版社，1984年5月第1版。
［7］侯峻梅、郑坚坚：《〈管子〉中的数学与〈九章算术〉的关系》，载《管子学刊》2001年第1期（2001年1月3日出版印刷）。
［8］光明日报记者：《中央经济工作会议在北京举行（习近平李克强作重要讲话 栗战书汪洋王沪宁赵乐际韩正出席会议）》，《光明日报》（2020年12月19日——第001、002版。）
（作者简介：张连杰，唐山师范学院教育学院讲师。张晶晶，北京西城区财政局科员）